Thèse de Mathieu Peybernes

Analyse de problème mathématiques de la mécanique des fluides de type bi-couches et à frontière libre.

Date : le 4 juillet 2006 à Corté

Jury :
Nicola Bellomo, Pr à l'université de Turin (Rapporteur)
Didier Bresch, Chargé de recherche (HDR) au cnrs (Rapporteur)
Benoit Desjardins, Directeur de recherche au CEA.

Pierre Orenga, Pr à Université de Corse, Directeur de Thèse
Bernard Di Martino, MCF à l'université de Corse
Fabien Flori, MCF à l'université de Corse

Résumé :

Ce document est la synthèse des trois années de recherche passées
au sein de l'équipe fluide-structure de l'Unité Mixte de Recherche
"CNRS-Université de Corse" 6134. Il est destiné à apporter
quelques compléments à la prédiction de la circulation marine ou à
l'étude des déplacements de polluants et concerne principalement
des problèmes liés aux équations de shallow water.

La première partie concerne les modèles bi-couches en eaux peu
profondes qui sont utilisés lorsque les couches d'eau ont des
caractéristiques physiques suffisamment différentes pour ne pas
pouvoir se mélanger (au détroit de Gibraltar par exemple). Dans le
premier chapitre, nous proposons une approche numérique qui repose
essentiellement sur la méthode de Galerkin à l'aide d'une base
spéciale et de la méthode des caractéristiques. Le second chapitre
est consacré à l'étude de l'existence de solutions pour un
problème de shallow water bi-couche avec des conditions aux
limites de Dirichlet. La difficulté provient de ces conditions qui
ne permettent pas d'employer les outils classiques. Le troisième
chapitre concerne les modèles bi-couches à toit rigide .
Cette hypothèse consiste à négliger les variations de la surface
de l'eau. Au niveau de la modélisation, la condition de rigid-lid introduit une contrainte sur l'écoulement dont nous
précisons la forme. Nous donnons ensuite des résultats d'existence
et de régularité et proposons une méthode numérique adaptée.

La deuxième partie est consacrée à l'étude des problèmes à
frontière libre pouvant décrire par exemple la simulation de la
dérive d'une nappe de polluant ou la propagation des feux de
forêt. On caractérise le mouvement de la frontière à l'aide d'un
opérateur différentiel permettant de conserver un domaine assez
régulier au cours du temps et d'utiliser ainsi les
propriétés classiques des espaces de Sobolev. La résolution
est basée sur un schéma lagrangien permettant de suivre chaque
particule dans son mouvement et de prendre ainsi en compte les
variations de la frontière. Nous terminons cette étude en
présentant la simulation d'une nappe de polluant évoluant à
la surface de l'eau à partir de la méthode décrite
précédemment.